排序 - 堆排序(Heap Sort)详解
堆排序介绍
堆排序(Heap Sort) 是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆分为"最大堆"和"最小堆"。最大堆通常被用来进行"升序"排序，而最小堆通常被用来进行"降序"排序。鉴于最大堆和最小堆是对称关系，理解其中一种即可。本文将对最大堆实现的升序排序进行详细说明。
最大堆进行升序排序的基本思想：
- 初始化堆：将数列
a[1...n]构造成最大堆。 - 交换数据：将
a[1]和a[n]交换，使a[n]是a[1...n]中的最大值；然后将a[1...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。
下面，通过图文来解析堆排序的实现过程。注意实现中用到了"数组实现的二叉堆的性质"。
在第一个元素的索引为 0 的情形中：
- 性质一：索引为i的左孩子的索引是
(2*i+1)； - 性质二：索引为i的左孩子的索引是
(2*i+2)； - 性质三：索引为i的父结点的索引是
floor((i-1)/2)；
例如，对于最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}而言：索引为0的左孩子的所有是1；索引为0的右孩子是2；索引为8的父节点是3。
堆排序说明
堆排序(升序)代码
/*
* (最大)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_down(int a[], int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if (tmp >= a[l])
break; // 调整结束
else // 交换值
{
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从小到大)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
void heap_sort_asc(int a[], int n)
{
int i;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
maxheap_down(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
swap(a[0], a[i]);
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxheap_down(a, 0, i-1);
}
}
heap_sort_asc(a, n)的作用是：对数组a进行升序排序；其中，a是数组，n是数组长度。heap_sort_asc(a, n)的操作分为两部分：初始化堆 和 交换数据。maxheap_down(a, start, end)是最大堆的向下调整算法。
下面演示heap_sort_asc(a, n)对a={20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}，n=11进行堆排序过程。下面是数组a对应的初始化结构：
第1部分：初始化堆
在堆排序算法中，首先要将待排序的数组转化成二叉堆。
下面演示将数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}转换为最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步骤。
1. i=11/2-1，即i=4
上面是maxheap_down(a, 4, 9)调整过程。maxheap_down(a, 4, 9)的作用是将a[4...9]进行下调；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[10])和a[4]交换。
2. i=3
上面是maxheap_down(a, 3, 9)调整过程。maxheap_down(a, 3, 9)的作用是将a[3...9]进行下调；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[8])和a[4]交换。
3. i=2
上面是maxheap_down(a, 2, 9)调整过程。maxheap_down(a, 2, 9)的作用是将a[2...9]进行下调；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[5])和a[2]交换。
4. i=1
上面是maxheap_down(a, 1, 9)调整过程。maxheap_down(a, 1, 9)的作用是将a[1...9]进行下调；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[3])和a[1]交换。交换之后，a[3]为30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再将它们交换。
5. i=0
上面是maxheap_down(a, 0, 9)调整过程。maxheap_down(a, 0, 9)的作用是将a[0...9]进行下调；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[2])和a[0]交换。交换之后，a[2]为20，它比它的左右孩子要大，选择较大的孩子(即左孩子)和a[2]交换。
调整完毕，就得到了最大堆。此时，数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就变成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。
第2部分：交换数据
在将数组转换成最大堆之后，接着要进行交换数据，从而使数组成为一个真正的有序数组。
交换数据部分相对比较简单，下面仅仅给出将最大值放在数组末尾的示意图。
上面是当n=10时，交换数据的示意图。
- 当n=10时，首先交换a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0...10]之间的最大值；然后，调整a[0...9]使它称为最大堆。交换之后：a[10]是有序的！
- 当n=9时， 首先交换a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0...9]之间的最大值；然后，调整a[0...8]使它称为最大堆。交换之后：a[9...10]是有序的！
- ...
- 依此类推，直到a[0...10]是有序的。
时间复杂度和稳定性
堆排序时间复杂度
堆排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
堆排序是采用的二叉堆进行排序的，二叉堆就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的定义，它的深度至少是lg(N+1)。最多是多少呢？由于二叉堆是完全二叉树，因此，它的深度最多也不会超过lg(2N)。因此，遍历一趟的时间复杂度是O(N)，而遍历次数介于lg(N+1)和lg(2N)之间；因此得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。
堆排序稳定性
堆排序是不稳定的算法，它不满足稳定算法的定义。它在交换数据的时候，是比较父结点和子节点之间的数据，所以，即便是存在两个数值相等的兄弟节点，它们的相对顺序在排序也可能发生变化。
算法稳定性 ：假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
堆排序实现
下面给出堆排序的三种实现：C、C++和Java。这三种实现的原理和输出结果都是一样的，每一种实现中都包括了"最大堆对应的升序排列"和"最小堆对应的降序排序"。
堆排序C实现
实现代码(heap_sort.c)
#include <stdio.h>
// 数组长度
#define LENGTH(array) ( (sizeof(array)) / (sizeof(array[0])) )
#define swap(a,b) (a^=b,b^=a,a^=b)
/*
* (最大)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxheap_down(int a[], int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if (tmp >= a[l])
break; // 调整结束
else // 交换值
{
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从小到大)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
void heap_sort_asc(int a[], int n)
{
int i;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
maxheap_down(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
swap(a[0], a[i]);
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxheap_down(a, 0, i-1);
}
}
/*
* (最小)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void minheap_down(int a[], int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] > a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较小者
if (tmp <= a[l])
break; // 调整结束
else // 交换值
{
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从大到小)
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
void heap_sort_desc(int a[], int n)
{
int i;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
minheap_down(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。
swap(a[0], a[i]);
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
minheap_down(a, 0, i-1);
}
}
void main()
{
int i;
int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};
int ilen = LENGTH(a);
printf("before sort:");
for (i=0; i<ilen; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
heap_sort_asc(a, ilen); // 升序排列
//heap_sort_desc(a, ilen); // 降序排列
printf("after sort:");
for (i=0; i<ilen; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
}
堆排序C++实现
实现代码(HeapSort.cpp)
#include <iostream>
using namespace std;
/*
* (最大)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void maxHeapDown(int* a, int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if (tmp >= a[l])
break; // 调整结束
else // 交换值
{
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从小到大)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
void heapSortAsc(int* a, int n)
{
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
maxHeapDown(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
/*
* (最小)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
void minHeapDown(int* a, int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] > a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较小者
if (tmp <= a[l])
break; // 调整结束
else // 交换值
{
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从大到小)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
void heapSortDesc(int* a, int n)
{
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
minHeapDown(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--)
{
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
minHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
int main()
{
int i;
int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};
int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));
cout << "before sort:";
for (i=0; i<ilen; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
heapSortAsc(a, ilen); // 升序排列
//heapSortDesc(a, ilen); // 降序排列
cout << "after sort:";
for (i=0; i<ilen; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}
堆排序Java实现
实现代码(HeapSort.java)
public class HeapSort {
/*
* (最大)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void maxHeapDown(int[] a, int start, int end) {
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if (tmp >= a[l])
break; // 调整结束
else { // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从小到大)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortAsc(int[] a, int n) {
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
maxHeapDown(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
/*
* (最小)堆的向下调整算法
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void minHeapDown(int[] a, int start, int end) {
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] > a[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较小者
if (tmp <= a[l])
break; // 调整结束
else { // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从大到小)
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortDesc(int[] a, int n) {
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
minHeapDown(a, i, n-1);
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
minHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};
System.out.printf("before sort:");
for (i=0; i<a.length; i++)
System.out.printf("%d ", a[i]);
System.out.printf("\n");
heapSortAsc(a, a.length); // 升序排列
//heapSortDesc(a, a.length); // 降序排列
System.out.printf("after sort:");
for (i=0; i<a.length; i++)
System.out.printf("%d ", a[i]);
System.out.printf("\n");
}
}
它们的输出结果：
before sort:20 30 90 40 70 110 60 10 100 50 80
after sort:10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110